《Sobolev空间与变分原理》第1章讲述Sobolev空间，这是变分方法和分析的理论基础，介绍迹定理、紧性定理、嵌入定理及其新进展。第2章讲述Peter Li和丘成桐（1983）的本征值估计及其应用和改进。第3章讲述椭圆算子在Sobolev空间的可解性、变分不等方程、单调算子理论和山路定理。第4章讲述Lions（1973）创立的渐近分析理论、stiff问题的渐近展开和椭圆边界层问题的一般收敛定理，解决了Lions（1973）中的一个公开的问题，分析了边界层形态的变化，给出改进后的Brezis不等式在渐近分析和渐变引起突变中的应用。第5章讲述Lions（1988）的HUM和利用乘子方法建立的积分恒等式、Haraux引理（1978，1989，1994）及其改进，统一和扩展了法国学者的波方程边界反馈的镇定性。第6章讲述变分方法在几何和相对论中的应用，给出Gauss曲率和平均曲率的变分计算，介绍Riemann几何初步，讨论数量曲率的变分，分析Einstein用物理直觉建立广义相对论场方程和Hilbert用变分论证建立场方程的条件。场方程在弱场和无奇点的条件下是成立的，依此，对宇宙起源于奇点给予质疑。